TURUNAN FUNGSI ALJABAR

 Nama : Shiva Nabila

Kelas : XI IPS 2

Absen : 29

A. Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi aljabar adalah fungsi baru hasil penurunan pangkat dari fungsi sebelumnya menurut aturan yang telah ditetapkan. Jika diimplementasikan di dalam grafik fungsi, turunan ini merupakan gradien garis singgung terhadap grafik di titik tertentu. Tingkat turunan fungsi tidak terbatas pada satu tingkat saja, tetapi juga bisa dua tingkat, tiga tingkat, dan seterusnya. Konsep turunan setiap tingkatnya juga sama. Hanya saja, fungsi yang diturunkan berbeda-beda karena mengacu pada hasil turunan sebelumnya.

Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Persamaan turunan yang memuat fungsi limit efektif digunakan untuk persamaan fungsi linear atau pangkat 1. Namun, rumus tersebut kurang efektif jika digunakan pada persamaan fungsi aljabar yang derajat polinomnya lebih dari 1 (pangkat lebih dari 1). Untuk itu, kamu bisa menggunakan rumus-rumus berikut.

f(x) = b → f’(x) = 0

Suatu konstanta akan bernilai nol jika diturunkan, contoh f(x) = 15 → f’(x) = 0.

f(x) = bx → f’(x) = b

Jika variabel x diturunkan terhadap x, akan menghasilkan 1. Contoh:

f(x) = x → f’(x) = 1

f(x) = 2x → f’(x) = 2

f(x) = 5x – 3 →f’(x) = 5

f(x) = axn → f’(x) = naxn-1

Rumus di atas berlaku untuk turunan fungsi pangkat, ya. Saat menurunkan suatu fungsi, artinya kamu sedang mencari turunan pangkat dari fungsi tersebut atau pangkatnya menjadi lebih kecil. Misal, jika variabel x2 diturunkan terhadap x, maka derajat variabelnya akan berkurang 1 menjadi x. Jika variabel x3 diturunkan terhadap x, maka derajat variabelnya akan berkurang 1 menjadi x2 dan seterusnya. Perhatikan contoh berikut.

f(x) = 6x4 + 2x3 → f’(x) = (4)(6)x3 + (3)(2)x2 

                                        = 24x3 + 6x2

Contoh Soal 

1. Sebuah bola ditendang dengan sudut elevasi tertentu hingga mengalami gerak parabola. Persamaan gerak bola tersebut dinyatakan sebagai h(t) = 4t – 2t2. Berapakah ketinggian maksimum bola tersebut?

Pembahasan:

Besaran yang dicari pada soal adalah ketinggian maksimum. Artinya, kecepatan di titik tertinggi sama dengan nol. Sementara itu, persamaan yang tertera pada soal adalah persamaan lintasan. Dengan demikian, kamu harus menentukan turunan pertama persamaan lintasannya.

Lalu, substitusikan nilai t = 1 s ke persamaan lintasannya.

h(t) = 4t – 2t2

h(1) = 4(1) – 2(1)2

h(1) = 2 m

Jadi, ketinggian maksimum bola tersebut adalah 2 m.

2. Suatu unit UMKM pengolahan makanan ringan mampu memproduksi x unit makanan dengan biaya (2x2 – 4x + 10) dalam ribuan rupiah untuk setiap unit. Jika makanan ringan akan habis dengan harga jual Rp10.000 setiap unit, berapakah keuntungan maksimum per unit yang diperoleh UMKM tersebut?

Pembahasan:

Diketahui:

Banyak makanan = x unit

Biaya produksi per unit = 2x2 – 4x + 10 dalam ribuan

Harga jual per unit = 10 (ribuan)

Mula-mula, misalkan keuntungan perusahaan sebagai g(x).

g(x) = untung = harga jual – biaya produksi, sehingga:

g(x) = 10x – (2x2 – 4x + 10)x

      = 10x – 2x3 + 4x2 – 10x

      = – 2x3 + 4x2

Keuntungan maksimum diperoleh jika g’(x) = 0. Dengan demikian:

g(x) = – 2x3 + 4x2

g’(x) = -6x2 + 8x

0 = -6x2 + 8x

-6x2 + 8x = 0

3x2 – 4x = 0

x(3x – 4) = 0

x = 0 atau x = 4/3

nilai x yang memenuhi = 4/3.

Lalu, substitusikan nilai x = 4/3 ke persamaan g(x).

g(4/3) = – 2(4/3)3 + 4(4/3)2

        = -4,74 + 7,11

        = 2,37

Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh UMKM tersebut adalah Rp2.370 per unit.

3. Tentukan turunan pertama fungsi di bawah ini:

a) f(x) = 12x

b) f(x) = 5

c) f(x) = 15

Jawab.

a) f(x) = 12x

   f'(x) =12x¹

           = 12x¹ˉ¹

           = 12xº

           = 12

b) f(x) = 5

   f'(x) = 5xº

           = 0 . 5xºˉ¹

           = 0

c) f(x) = 15

   f'(x) = 15xº

           = 0 . 15xºˉ¹

           = 0